Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система из трех уравнений с тремя неизвестными не во всех случаях имеет решение, несмотря на большое количество уравнений. Как правило, данного рода системы решаются с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Второй метод дает возможность определить на первых этапах, имеет ли система решение.
Допустим, нам дана следующая система из трех уравнений с тремя неизвестными:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end{matrix}\right.\]
Можно решить данную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера:
\[\Delta _A\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}=2\]
Определитель системы \ не равен нулю. Найдем вспомогательные определители \ если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
\[\Delta _1\begin{vmatrix} 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end{vmatrix}=6\]
\[\Delta _2\begin{vmatrix} 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end{vmatrix}=2\]
\[\Delta _3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end{vmatrix}=-2\]
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение
\[\left\{\begin{matrix} X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end{matrix}\right.\]
Где можно решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Для системы составляем главный определитель
и вычисляем его.
Затем составляем дополнительные определители
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам
; 
;
,если
1)
Вычислим:
По формулам Крамера находим:
Ответ: (1; 2; 3)
2)
Вычислим:
Так как главный
определитель
,
а хотя бы один дополнительный не равен
нулю (в нашем случае
),
то решения у системы нет.
3)
Вычислим:
Так как все
определители равны нулю, то система
имеет бесконечное множество решений,
которое можно найти так
Решите самостоятельно системы:
а)
б)
Ответ: а) (1; 2; 5)
б)
;
;
Практическое занятие № 3 на тему:
Скалярное произведение двух векторов и его приложение
1. Если дан
и
,
то скалярное произведение находим по
формуле:
∙
2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле
1. Даны два вектора
и
Их скалярное произведение находим так:
.
2. Даны два вектора:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
скалярное произведение находят так:
3.
,
3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.
Дано:
Решение:
2) Дано: 
Решение:
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим
вектор перемещения
Находим модуль вектора перемещения:
По формуле
находим работу:
3.2 Определение ортогональности двух векторов
Два вектора
ортогональны, если
,
то есть
так как
1) 
–не ортогональны
2) 
–ортогональны
3) Определить, при
каком
векторы
и
взаимно-ортогональны.
Так как
,
то
,
значит
Решите самостоятельно:
а)
.
Найти их скалярное произведение.
б) Вычислить, какую
работу производит сила
,
если точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, переместилась из точки
M
(5; -6; 1) в точку N
(1; -2; 3)
в) Определить,
ортогональны ли вектора
и
Ответы: а) 1 б) 16 в) да
3.3.Нахождение угла между векторами
1)
.
Найти
.
Находим 
подставляем в формулу:
.
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.
Подставим в формулу:
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ: 90 о
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:
|
|
|
|
|
имеет вид |
||
1) Найти модуль векторного произведения:
Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.
2) Найти модуль векторного произведения:
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
2). Найти векторное произведение и его модуль
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
Найдем их векторное произведение
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Если вектора
и
коллинеарны, то
, т. е. координаты
векторов должны быть пропорциональны.
а) Даны вектора::
,
.
Они коллинеарны
потому, что
и
после сокращения
каждой дроби получается соотношение
б) Даны вектора:
.
Они не коллинеарны,
потому, что
или
Решите самостоятельно:
а) При каких
значениях m
и n
вектора
коллинеарны?
Ответ:
;
б) Найти векторное
произведение и его модуль
,
.
Ответ:
,
.
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача № 1. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точку А(-2; 3) параллельно прямой
1. Найдем угловой
коэффициент прямой
.
- это уравнение
прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой (
).
Поэтому
.
2. Так как прямые
MN
и АС
параллельны, то их угловые коэффициенты
равны, т.е.
.
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки А(-2; 3), вместо
подставим
– 3. В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
Это общее уравнение прямой, которое в
общем виде задается формулой
.
Сравнивая уравнения
и
находим, что А
= 2, В = –3. Угловой
коэффициент прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле
.
Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3,
получим угловой коэффициент прямой MN.
Итак,
.
2. Так как прямые
MN
и КС параллельны, то их угловые коэффициенты
равны:
.
3. Для нахождения
уравнения прямой КС воспользуемся
формулой уравнения прямой, проходящей
через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–2; 3),
вместо
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .
1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .
и находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент
прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле:
.
Подставив в эту формулу А
= 3 и В = 4, получим
угловой коэффициент прямой MN:
.
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
.
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–1;
–3), вместо
подставим
.
В результате подстановки получим:
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–4; 1)
параллельно прямой
.
Ответ:
.
2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(5; –2)
параллельно прямой
.
3. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–2; –6)
перпендикулярно прямой
.
4. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(7; –2)
перпендикулярно прямой
.
Ответ:
.
5. Найти уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки
К(–6; 7) на прямую
.
Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.
В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.
Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.
Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.
Для решения системы применяют различные методы.
Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).
Метод Крамера
Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
(7)
Для нахождения
неизвестных
применим формулу Крамера:
(8)
где
- определитель системы, элементы которого
есть коэффициенты при неизвестных:
.
получается путём
замены первого столбца определителя
столбцом свободных членов:
.
Аналогично:
;
.
Пример 1. Решить систему по формуле Крамера:
.
Решение: Воспользуемся формулами (8):
;
;
;
;
Ответ:
.
Для любой системы
линейных уравнений с
неизвестными можно утверждать:
Матричный способ решения
Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.
Используя правила
умножения матриц, данную систему
уравнений можно записать в виде:
,
где
.
Пусть матрица
невырожденная, т.е.
.
Умножая обе части матричного уравнения
слева на матрицу
,
обратную матрице
,
получим:
.
Учитывая, что
,
имеем
(9)
Пример 2. Решить систему матричным способом:
.
Решение: Введём матрицы:
-
из коэффициентов при неизвестных;
-
столбец свободных членов.
Тогда систему
можно записать матричным уравнением:
.
Воспользуемся
формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):
;
.
Следовательно,
Получили:
.
Ответ:
.
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Допустим, что
(если
,
то изменим порядок уравнений, выбрав
первым уравнением то, в котором коэффициент
при
не равен нулю).
Первый шаг: а) делим
уравнение
на
;
б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
;
в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
.
В результате первого шага будем иметь
систему:
,
Второй шаг: поступаем
с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.
В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.
Замечание. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов, при неизвестных, и свободных членов.
Пример 3. Решить методом Гаусса систему:
.
Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.
~
~
~
~
~
.
По полученной матрице выписываем преобразованную систему:
.
Ответ:
.
Замечание: Если
система имеет единственное решение, то
ступенчатая система приводится к
треугольной, то есть к такой, в которой
последнее уравнение будет содержать
одно неизвестное. В случае неопределённой
системы, то есть такой, в которой число
неизвестных больше числа линейно
независимых уравнений, треугольной
системы не будет, так как последнее
уравнение будет содержать более одного
неизвестного (система имеет бесчисленное
множество решений). Когда же система
несовместна, то, после приведения её к
ступенчатому виду, она будет содержать
хотя бы одно
значение вида
,
то есть уравнение, в котором все
неизвестные имеют нулевые коэффициенты,
а правая часть отлична от нуля (система
решений не имеет). Метод Гаусса применим
к произвольной системе линейных уравнений
(при любых
и
).
Теорема существования решения системы линейных уравнений
При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.
Пусть дана система
линейных уравнений с
неизвестными:
(10)
Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы
.
был равен рангу её расширенной матрицы
.
Причём, если
,
то система (10) имеет единственное решение;
если же
,
то система имеет бесчисленное множество
решений.
Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:
.
Эта система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .
В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.
Терема. Для того,
чтобы однородная система линейчатых
уравнений имела нулевое решение,
необходимо и достаточно, чтобы её
определитель
был равен нулю:
.
Таким образом,
если
,
то решение- единственное. Если
,
то существует бесконечноё множество
других ненулевых решений. Укажем один
из способов отыскания решений для
однородной системы трёх линейных
уравнений с тремя неизвестными в случае
.
Можно доказать,
что если
,
а первое и второе уравнения непропорциональны
(линейно независимы), то третье уравнение
есть следствие первых двух. Решение
однородной системы трёх уравнений с
тремя неизвестными сводится к решению
двух уравнений с тремя неизвестными.
Появляется так называемое свободное
неизвестное, которому можно придавать
произвольные значения.
Пример 4. Найти все решения системы:
.
Решение. Определитель этой системы
.
Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:
.
Полагая, например,
,
получим
.
Решая систему двух
линейных уравнений, выразим
и
через
:
.
Следовательно, решение системы можно
записать в виде:
,
где
- произвольное число.
Пример 5. Найти все решения системы:
.
Решение. Нетрудно
видеть, что в данной системе только одно
независимое уравнение (два других ему
пропорциональны). Система из трёх
уравнений с тремя неизвестными свелась
к одному уравнению с тремя неизвестными.
Появляются два свободных неизвестных.
Найдя, например, из первого уравнения
при произвольных
и
,
получим решения данной системы. Общих
вид решения можно записать,
где
и
- произвольные числа.
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте
правило Крамера для решения системы
линейных уравнений с
неизвестными.
В чём сущность матричного способа решения систем?
В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.
Примеры для самостоятельного решения
Найдите все решения систем:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Определите, при
каких значениях
и
система уравнений
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решения;
в) имеет бесконечно много решений.
16.
; 17.
;
Найти все решения следующих однородных систем:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
Ответы к примерам
1.
; 2.
; 3.
Ǿ; 4. Ǿ;
5.
- произвольное число.
6.
,
где
- произвольное число.
7.
; 8.
; 9.
Ǿ; 10. Ǿ;
11.
,
где
- произвольное число.
12.
,
где
и
- произвольные числа.
13.
; 14.
где
и
- произвольные числа.
15. Ǿ; 16. а)
;
б)
;
в)
.
17. а)
;
б)
;
в)
;
18.
; 19.
; 20.,
где
- произвольное число.
21.
,
где
- произвольное число.
22.
,
где
- произвольное число.
23.
,
где
и
- произвольные числа.
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать линейное диофантово уравнение с двумя переменными , возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги.
Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными.
Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть:)
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид
где целые числа
Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так
Подставим наше общее решение в уравнение
Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим
Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d
Значит, от t (она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит
Логично предположить что и от z оно не зависит а значит
а вот от постоянных значений A 3 и B 3 оно зависит напрямую, то есть
Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными , которые решать мы можем легко и непринужденно.
Попробуем решить?
В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение
Первое уравнение будет вот такое
корни его
Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. (Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет.
Решаем второе уравнение
и его корни
здесь пусть k=0 (так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях)
И последнее третье уравнение
Корни тут такие
Подставим теперь все найденные значения в общий вид
Вот и все!
Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел.
Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение
Как пример
При попытке решить уравнение
в нашем случае
мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное.
Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так
и получаем ответ