Длины сторон которого (a, b, c) известны, используйте теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины любой из сторон равен сумме квадратов длин двух других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же двух сторон на косинус угла между ними. Использовать эту теорему можно для расчета угла в любой из вершин, важно знать лишь его расположение относительно сторон. Например, чтобы найти угол α, который лежит между сторонами b и c, теорему надо записать так: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Выразите из формулы косинус искомого угла: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу - арккосинус. Она позволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Левую часть можно упростить и вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике знание длин всех сторон не обязательно, достаточно двух из них. Если эти две стороны - катеты (a и b), разделите длину той, которая лежит напротив искомого угла (α), на длину другой. Так вы получите значение тангенса нужного угла tg(α) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию - арктангенс - и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: α = arctg(a/b).

Если известные стороны - катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (β), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей - арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде можно записать так: β = arccos(a/c). Для расчета по этим же исходным острого угла (α), лежащего напротив известного катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: α = arcsin(a/c).

Источники:

формула треугольника при 2 сторонах

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если известны длины трех его сторон . Один из способов заключается в использовании двух разных формул вычисления площади треугольника . Для упрощения расчетов можно также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника .

Инструкция

Воспользуйтесь, например, двумя формулами вычисления площади треугольника , в одной из которых задействованы только три его известных сторон ы ( Герона), а в другой - две сторон ы и синус угла между ними. Используя во второй формуле разные пары сторон , вы сможете определить величины каждого из углов треугольника .

Решите задачу в общем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника , как квадратный корень из произведения полупериметра (половины всех сторон ) на разницы между полупериметром и каждой из сторон . Если заменить суммой сторон , то формулу можно записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C другой сторон ы площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. Например, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу можно записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для

Вписанной в него окружности (r). Для этого увеличьте ее в шесть раз и разделите на квадратный корень из тройки: А = r*6/√3.

Зная радиус (R), тоже можно вычислить длину стороны (А) правильного треугольника . Этот радиус вдвое больше использованного в предыдущей формуле, поэтому утройте его и тоже поделите на квадратный корень из тройки: А = R*3/√3.

По (Р) равностороннего треугольника вычислить длину его стороны (А) еще проще, так как длины сторон в этой фигуре одинаковы. Просто разделите периметр натрое: А = Р/3.

В равнобедренном треугольнике вычисление длины стороны по известному периметру немного сложнее - нужно знать еще и длину хотя бы одной из сторон. Если известна длина стороны А, лежащей в основании фигуры, длину любой из боковых (В) находите пополам разности между периметром (Р) и размером основания: В = (Р-А)/2. А если известна боковая сторона, то длину основания определяйте вычитанием из периметра удвоенной длины боковой: А = Р-2*В.

Знания площади (S), занимаемой на плоскости правильным треугольником, тоже достаточно для нахождения длины его стороны (А). Извлеките квадратный корень из соотношения площади и корня из тройки, а полученный результат удвойте: А = 2*√(S/√3).

В , в от любого другого, для вычисления длины одной из сторон достаточно знать длины двух других. Если искомая сторона - (С), для этого находите квадратный корень длин известных сторон (А и В), возведенных в квадрат: С = √(А²+В²). А если вычислить требуется длину одного из катетов, то квадратный корень следует извлекать из длин гипотенузы и другого катета: А = √(С²-В²).

Источники:

как вычислить сторону равностороннего треугольника

В общем случае, т.е. когда нет данных о том, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным, прямоугольным, приходится использовать тригонометрические функции для вычисления длин его сторон. Правила их применения определяются теоремами, которые так и названы - теорема синусов, косинусов и тангенсов.

Инструкция

Один из способов вычисления длин сторон произвольного треугольника предполагает теоремы синусов. Согласно ей соотношения длин сторон противолежащих им углов треугольника равны. Это позволяет вывести формулу длины стороны для тех случаев, из условий задачи известна хотя бы одна сторона и два угла в вершинах фигуры. Если ни один из этих двух углов (α и β) не лежит между известной стороной А и вычисляемой В, то умножьте длину известной стороны на синус прилегающего к ней известного угла β и разделите на синус другого известного угла а: В = А*sin(β)/sin(α).

Если один (γ) из двух (α и γ) известных углов образован , длина одной из которых (А) дана в , а вторую (В) требуется вычислить, то примените ту же теорему. Решение можно свести к формуле, полученной в предыдущем шаге, если вспомнить еще и теорему о сумме углов в треугольнике - эта величина всегда 180°. В формуле неизвестен угол β, который по этой теореме можно вычислить, если отнять от 180° величины двух известных углов. Подставьте это значение в равенство, и вы получите формулу В = А*sin(180°-α-γ)/sin(α).

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). Чаще всего углы измеряют в градусах, при этом полный угол, или оборот, равен 360 градусам. Вы можете вычислить угол многоугольника, если вам известен тип многоугольника и величина других его углов или, в случае прямоугольного треугольника, длина двух из его сторон.

Шаги

Вычисление углов многоугольника

Сосчитайте количество углов в многоугольнике.

Найдите сумму всех углов многоугольника. Формула для нахождения суммы всех внутренних углов многоугольника выглядит как (n - 2) x 180, где n - число сторон, а также углов многоугольника. Вот суммы углов некоторых часто встречающихся многоугольников:

Сумма углов треугольника (трехстороннего многоугольника) составляет 180 градусов.
Сумма углов четырехугольника (четырехстороннего многоугольника) составляет 360 градусов.
Сумма углов пятиугольника (пятистороннего многоугольника) составляет 540 градусов.
Сумма углов шестиугольника (шестистороннего многоугольника) составляет 720 градусов.
Сумма углов восьмиугольника (восьмистороннего многоугольника) составляет 1080 градусов.

Определите, является ли многоугольник правильным. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны и все углы между собой равны. Примерами правильных многоугольников могут служить равносторонний треугольник и квадрат, в то время как здание Пентагона в Вашингтоне построено в форме правильного пятиугольника, а дорожный знак «стоп» имеет форму правильного восьмиугольника.

Сложите известные величины углов многоугольника, а затем вычтите эту сумму из общей суммы всех его углов. В большинстве геометрических задач такого рода речь идет о треугольниках или четырехугольниках, поскольку в них нужно меньше исходных данных, так что мы поступим аналогично.
- Если два угла треугольника равны, соответственно, 60 градусам и 80 градусам, сложите эти числа. Получится 140 градусов. Затем вычтите эту сумму из общей суммы всех углов треугольника, то есть из 180 градусов: 180 - 140 = 40 градусов. (Треугольник, все углы которого неравны между собой, называется неравносторонним.)
- Вы можете записать это решение в виде формулы a = 180 - (b + c), где а - угол, величину которого нужно найти, b и c - величины известных углов. Для многоугольников с числом сторон больше трех замените 180 на сумму углов многоугольника данного вида и добавьте по одному слагаемому к сумме в скобках для каждого известного угла.
- В некоторых многоугольниках есть свои «хитрости», которые помогут вам вычислить неизвестный угол. Например, равнобедренный треугольник - это треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны и противоположные углы которого равны.
Вычисление углов прямоугольного треугольника
1. Определите, какие данные вам известны. Прямоугольный треугольник называется так потому, что один из его углов является прямым. Вы можете найти величину одного из двух оставшихся углов, если вам известна одна из следующих величин:
  
  Определите, какую тригонометрическую функцию нужно использовать. Тригонометрические функции выражают соотношения двух из трех сторон треугольника. Существует шесть тригонометрических функций, но чаще всего используются следующие:

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

через высоту и сторону, на которую она опускается;
по формуле Герона;
по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как: